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引言
        機(jī)械產(chǎn)品的設(shè)計(jì), 一般需要經(jīng)過提出課題、調(diào)查分析、技術(shù)設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、繪畫和編寫設(shè)計(jì)說明書等環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法通常是在調(diào)查分析的基礎(chǔ)上, 參照同類產(chǎn)品, 通過估算、經(jīng)驗(yàn)類比或試驗(yàn)等方法來確定產(chǎn)品的初步設(shè)計(jì)方案。然后對產(chǎn)品的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性等性能分析計(jì)算, 檢查各項(xiàng)性能是否滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。如果不能滿足要求, 則根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或直觀判斷對設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行修改。
        整個(gè)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)過程是人工試湊和定性分析比較的過程, 因此, 這種方法只能是被動地重復(fù)分析產(chǎn)品的性能, 而不是主動地設(shè)計(jì)產(chǎn)品的參數(shù)。而優(yōu)化設(shè)計(jì)是用數(shù)學(xué)規(guī)劃理論和計(jì)算機(jī)自動選優(yōu)技術(shù)來求解*化的問題。對工程問題進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì), 首先需要將工程設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型, 即用優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式描述工程設(shè)計(jì)問題。然后, 按照數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)選擇合適的優(yōu)化方法和計(jì)算程序, 獲得*設(shè)計(jì)方案。

        1 優(yōu)化設(shè)計(jì)及其數(shù)學(xué)模型
        優(yōu)化作為一門學(xué)科與技術(shù), 是一切科學(xué)與技術(shù)所追求的永恒的主題, 旨在從處理各種事物的一切可能的方案中, 尋求*的方案。優(yōu)化的原理與方法, 在科學(xué)的、工程的和社會的實(shí)際問題中的應(yīng)用,
        這便是優(yōu)化設(shè)計(jì)。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)則是優(yōu)化設(shè)計(jì)在一切工程設(shè)計(jì)應(yīng)用中的一個(gè)方面, 其本質(zhì)是依據(jù)*化的原理與方法, 且通常借助計(jì)算技術(shù)與計(jì)算機(jī)這一強(qiáng)有力的手段, 對某項(xiàng)機(jī)械設(shè)計(jì), 在規(guī)定的各種設(shè)計(jì)限制條件下, 優(yōu)選設(shè)計(jì)參數(shù), 使某項(xiàng)或某幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)獲得*值。它所追求的是*結(jié)果、*設(shè)計(jì)等, 所遵循的是一套日益發(fā)展與完善的*化理論與方法。所以, 整個(gè)設(shè)計(jì)過程是一個(gè)科學(xué)尋優(yōu)的過程。
        用一組設(shè)計(jì)變量描述優(yōu)化設(shè)計(jì)對象的設(shè)計(jì)內(nèi)容、即描述優(yōu)化意圖和有關(guān)限制條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式,稱為優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。它包含三個(gè)要素, 即設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。
        設(shè)計(jì)變量是用一組設(shè)計(jì)參數(shù)的*組合來表示的。設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)就是優(yōu)化問題的維數(shù)。有n 個(gè)設(shè)計(jì)變量x1, x2, !, xn 的優(yōu)化問題, 其維數(shù)為n。由n個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間稱為設(shè)計(jì)空間。設(shè)計(jì)空間中, 點(diǎn)x 就代表一個(gè)設(shè)計(jì)方案（或稱設(shè)計(jì)點(diǎn)）, 以向量表示時(shí), 可記為
        x = [ x1, x2,..., xn] T 或x∈ Rn          （ 1）
        式中Rn——代表n 維實(shí)空間。
        目標(biāo)函數(shù)f （ x ）是反映優(yōu)化意向的關(guān)于設(shè)計(jì)變量的數(shù)學(xué)表達(dá)式, 可用來直接評價(jià)優(yōu)化方案的好壞,所以又稱為評價(jià)函數(shù)。為了規(guī)范化, 優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型中通常規(guī)定求目標(biāo)函數(shù)的極小值, 即
        minf（ x ）=f（x1, x2,..., xn ）                （ 2）
        約束條件也稱設(shè)計(jì)約束, 它是設(shè)計(jì)變量間或設(shè)計(jì)變量本身應(yīng)該遵循的限制條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式。約束條件按其表達(dá)式可分為不等式約束和等式約束兩種, 即
        gj （ x ） ≤ 0（ j= 1, 2, ..., m ）   hv= 0（ v= 1, 2, ..., p ）                                                        （ 3）

        2  高轉(zhuǎn)速、高精度數(shù)控車床主軸的優(yōu)化設(shè)計(jì)
        主軸部件是機(jī)床的執(zhí)行件, 它的功用是支承并帶動工件或刀具, 完成表面成形運(yùn)動, 同時(shí)還起到傳遞運(yùn)動和扭矩、承受切削力和驅(qū)動力等載荷的作用。主軸部件的工作性能直接影響到機(jī)床的加工質(zhì)量和生產(chǎn)率, 是機(jī)床中的一個(gè)關(guān)鍵部件。如圖1所示為經(jīng)過簡化處理的高轉(zhuǎn)速、高精度數(shù)控車床雙支承主軸的力學(xué)模型。主軸支承采用角接觸球軸承, 主軸的zui高轉(zhuǎn)速為8000r/min, 機(jī)床主軸的懸臂端受到的切削力F=20000N, 主軸內(nèi)徑d=40mm, 懸臂端許用撓度y0=0.05mm。要求主軸兩支承跨度350mm≤ l≤ 600mm。外徑70mm≤D≤ 150mm。懸臂端長度80mm≤a≤160 mm。主軸的材料采用40 C r。從機(jī)床主軸制造成本和加工精度的要求出發(fā), 需要考慮主軸的自重和外伸段撓度這兩個(gè)重要因素。選取主軸的重量zui輕為設(shè)計(jì)目標(biāo), 將主軸的剛度作為約束條件。

圖1 主軸力學(xué)模型圖

        2. 1 設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)
        主軸重量設(shè)計(jì)變量包括主軸的外徑D （因主軸的外徑在其長度內(nèi)變化不大, D 取其外徑平均值）、孔徑d、兩支承跨度l和外伸段長度a, 如圖1所示。
        設(shè)計(jì)變量為
               

        機(jī)床主軸重量zui輕優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)為
               

        式中p——為材料的密度。
        2. 2 約束條件
        機(jī)床的加工質(zhì)量在很大程度上取決于主軸的剛度, 主軸的剛度是一個(gè)很重要的性能指標(biāo)。由材料力學(xué)可知, 主軸懸臂端撓度為
               

        式中 J ——空心主軸的慣性矩,
                

        E ——主軸的彈性模量,
                

         F ——作用在主軸外伸端的力。
        當(dāng)主軸的旋轉(zhuǎn)角速度ω達(dá)到其橫向振動的固有頻率 ωn 時(shí), 軸將處于共振狀態(tài)?？紤]這種動力穩(wěn)定性, 主軸為單自由度的振動問題, 主軸剛度的約束條件為
               

        三個(gè)設(shè)計(jì)變量的約束條件為
               

        將已知數(shù)據(jù)代入式（ 5）和式（ 7）, 整理得到
               

        2. 3 優(yōu)化方法與結(jié)果
        采用內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法求解, 取初始懲罰因子
        r（1）=2, 懲罰因子遞減系數(shù)e=0.1, 收斂精度ε=10- 6。
        取可行域內(nèi)的初始點(diǎn)X（0）=[500,110,130] T,經(jīng)過28次迭代計(jì)算, 得到*解為
        X* = [ x*1 , x*2 , x*3 ] T = [ 353. 285, 81. 533, 83. 652] T
        f （X* ） = 1731314. 633mm3
        對于上述主軸, 如按傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法, 經(jīng)設(shè)計(jì)計(jì)算, 所得到的軸的體積為2079308.875 mm3 （設(shè)計(jì)過程略）。通過實(shí)例表明, 機(jī)床主軸采用優(yōu)化設(shè)計(jì)較傳統(tǒng)設(shè)計(jì), 可使其重量減輕20. 1%。

        3. 結(jié)束語
        通過對機(jī)床主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究, 得出如下結(jié)論: 利用限制搜索空間、懲罰函數(shù)的方法來處理約束條件, 可解決因約束條件多計(jì)算量大的問題; 該方法的研究解決了機(jī)床主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)的問題, 在實(shí)際應(yīng)用中取得較傳統(tǒng)設(shè)計(jì)更為滿意的效果。